Conjecture 2. 正の有理数 $r$ に対して数列 $(x_n)$ を次のように定める。
$x_1 = r$.
$a_n = round(1/x_n + 1)$.
$x_{n+1} = x_n – 1/a_n$.
とする。さらに $e_n = 1/x_n + 1 – a_n$ のとき、ある $n$ に対して $e_n = 0$ が成立するか？
この予想の正しさを示したい。
ここに正の実数 $x$ に対して round(x) を $x$ の四捨五入とする。$x$ の床関数 $floor(x)$ を用いれば、$round(x) = floor(x + 1/2)$という関係を見つける。また、任意の整数$y$について$floor(x + y) = floor(x) + y$である。
また、実数剰余を$modr(r, q)$のように表すと、適当な定義により、$x = floor(x) + modr(x, 1)$となる。
$e_n$ について
e_n = 1/x_n + 1 – a_n = 1/x_n + 1 – round(1/x_n + 1)
= 1/x_n + 1 – floor(1/x_n + 1 + 1/2)
= 1/x_n – floor(1/x_n + 1/2)
= 1/x_n + modr(1/x_n + 1/2, 1) – 1/x_n – 1/2
= modr(1/x_n + 1/2, 1) – 1/2
ここで、$x_{n+1} – x_n < 0$であったから、数列 $(x_n)$ は単純減少であった。
よって $n$ を無限大方向に動かす極限では、 $e_n = modr(1/x_n + 1/2, 1) – 1/2$ の中の $1/x_n$ はゼロに近づき、$e_n$ は $modr(1/2, 1) – 1/2 = 0$ となるように思える。
片山博文MZ